Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)F，E分別以相同的速度從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），過(guò)點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn)，PN∥BC交CD于N點(diǎn)，連接MN，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， ①AE和BF的位置關(guān)系為；
②線段MN的最小值為 ．

Answer 1

【答案】AE⊥BF；
【解析】解：①如圖，∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同， ∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，②∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°，
∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，
在Rt△BCG中，CG= = = ，
∵PG= AB= ，
∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ，
即線段CP的最小值為 ，
所以答案是AE⊥BF， ．

【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．