Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F．
（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等邊對等角可求得∠1=∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到OE⊥DE，因為OE是半徑，從而得到ED與⊙O相切．
（2）由已知可得到∠MAN=60°，從而推出∠2=∠AFD=30°，根據(jù)等角對等邊得到EF=AE，再根據(jù)S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB即可求解．

解答：解：（1）DE與⊙O相切．（1分）
理由如下：
連接OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OE∥AD．
∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）
∴OE⊥DE，垂足為E．
∵點E在半圓O上，
∴ED與⊙O相切．（3分）

（2）∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD．
∴EF=AE=

3

．（4分）
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1．（5分）
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

1

6

π．（6分）

點評：此題主要考查學生對切線的判定方法及扇形面積計算的綜合運用能力．