Question

（2009•伊春）如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-，0）、B（0，-3）兩點(diǎn)，此拋物線的對稱軸為直線l，頂點(diǎn)為C，且l與直線AB交于點(diǎn)D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）直接寫出此拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）連接BC，求證：BC=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得b，c的值，即可得解析式；
（2）利用公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）即可求解；
（3）如圖可知點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可求得BC的長，點(diǎn)D是直線AB與對稱軸的交點(diǎn)，求得直線AB的解析式即可求得D的坐標(biāo)，則可求得CD的長，則可證得結(jié)果．
解答：（1）解：∵拋物線y=x²+bx+c
經(jīng)過A（-，0）、B（0，-3）兩點(diǎn)
∴
解得
∴此拋物線的解析式為．

（2）解：由（1）可得此拋物線的對稱軸l為，
頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，-4）．

（3）證明：∵過A、B兩點(diǎn)的直線解析式為
∴當(dāng)時(shí)，y=-6
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-6
∴CD=|-6|-|-4|=2
作BE⊥l于點(diǎn)E，則
∴CE=4-3=1
由勾股定理得
∴BC=DC．
點(diǎn)評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．