Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y= x2+bx+c與一次函數(shù)y= x﹣3的圖象都經(jīng)過x軸上點(diǎn)A（4，0）和y軸上點(diǎn)B（0，﹣3），過動(dòng)點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)P．

（1）求b，c的值；
（2）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，能否使△PBC為直角三角形？如果能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)，設(shè)△PCD的面積為S1 ， △ACM的面積為2 ， 若 = ，
①求m的值；
②如圖3，將線段OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接M'A、M'B，求M'A+ M'B的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意， ，

解得

（2）

解：若△PBC為直角三角形，顯然∠PCB≠90°．

①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)（如圖1﹣1中），作PK⊥y軸于K，則∠PBK=∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴tan∠PBK= = ，

解得m= 或0（舍棄），

∴P（ ，﹣ ），

②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)（如圖1﹣2中），BP∥x軸，

當(dāng)y=﹣3時(shí)， m2﹣ m﹣3=﹣3，解得m=3或0（舍棄），

∴P（3，﹣3），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（ ，﹣ ）或（3，﹣3）

（3）

解：①如圖2中，

∵PD⊥AB，PM⊥OA，

∴∠PDC=∠AMC，

∵∠PCD=∠ACM，

∴△PCD∽△ACM，

∴ =（ ）2= ，

∴ = ，

∵CM∥OB，

∴ = ，

∴AC= （4﹣m），

∵拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3，

∴PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，

∴ = ，

解得m=2或4（舍棄），

∴m=2．

②如圖3中，在y軸上取一點(diǎn)E，使得OE= ，連接M′E，AE．

∵OM′=2，OEOB= ×3=4，

∴OM2=OEOB，

∴ = ，

∵∠M′OE=∠BOM′，

∴△M′OE∽△BOM′，

∴ = = ，

∴M′E= BM′，

∴AM′+ BM′=AM′+M′E，

∴當(dāng)A、M′、E共線時(shí)，AM′+ BM′的值有最小值=AE= =

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）分兩種情形討論即可．①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)（如圖1﹣1中），作PK⊥y軸于K．②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)（如圖1﹣2中），BP∥x軸．分別列出方程即可解決問題．（3）①由△PCD∽△ACM，可得 =（ ）2= ，推出 = ，由CM∥OB，推出 = ，推出AC= （4﹣m），由拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3，可得PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，列出方程，即可解決問題．②如圖3中，在y軸上取一點(diǎn)E，使得OE= ，連接M′E，AE．由OM′=2，OEOB= ×3=4，推出OM2=OEOB，推出 = ，由∠M′OE=∠BOM′，可知△M′OE∽△BOM′，推出 = = ，推出M′E= BM′，所以AM′+ BM′=AM′+M′E，所以當(dāng)A、M′、E共線時(shí)，AM′+ BM′的值有最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減��；測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．