Question

如圖，梯形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF⊥AB，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=BE．若AB=m（m為常數(shù)），則EF的長(zhǎng)為________．

Answer 1

m
分析：延長(zhǎng)AF，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，由AD與CG平行，根據(jù)兩直線平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，又F為DC中點(diǎn)，得到一對(duì)邊相等，從而利用“AAS”證明兩三角形全等，從而得到F為AG中點(diǎn)，又根據(jù)AB與AG垂直，得到角BAE與角EAF互余，且角B與角G互余，由AE與BE相等，根據(jù)等邊對(duì)等角得到角B等于角BAE，根據(jù)等角的余角相等得到角EAF與角G相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得到AE與EG相等，利用等量代換可得E為BG中點(diǎn)，從而得到EF為三角形ABG的中位線，根據(jù)中位線定理即可求出EF的長(zhǎng)．
解答：解：延長(zhǎng)AF，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，
∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，∠D=∠FCG，
又F為DC中點(diǎn)，∴DF=CF，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=GF，即F為AG的中點(diǎn)，
又AB⊥AF，∴∠BAF=90°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，∠B+∠G=90°，
∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，
∴∠EAF=∠G，
∴AE=EG，又AE=BE，∴BE=EG，即E為BG中點(diǎn)，
∴EF為△ABG的中位線，又AB=m，
∴EF=AB=m．
故答案為：m
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，梯形等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．