Question

如圖，在線段AE同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)，則△CPM是（ ）

A．鈍角三角形
B．直角三角形
C．等邊三角形
D．非等腰三角形

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，則∠BCE=∠ACD，從而根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)，得BP=AM，根據(jù)SAS證明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，則∠PCM=∠ACB=60°，從而證明該三角形是等邊三角形．
解答：解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠BCE=∠ACD．
∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．
又點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)，
∴BP=AM．
∴△BCP≌△ACM．
∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．
∴∠PCM=∠ACB=60°．
∴△CPM是等邊三角形．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：三角形中位線性質(zhì)應(yīng)用比較廣泛，尤其是在三角形、四邊形方面起著非常重要作用，本題結(jié)合三角形全等的知識(shí)，考查了中位線定理的應(yīng)用．