Question

如圖27­18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，過(guò)點(diǎn)B作射線BB₁∥AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB₁于點(diǎn)F，G是EF中點(diǎn)，連接DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD＝AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5.

∵AD＝5t，CE＝3t，

∴當(dāng)AD＝AB時(shí)，5t＝5，∴t＝1.

∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.

(2)∵EF＝BC＝4，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴GE＝2.

當(dāng)AD<AE時(shí)，DE＝AE－AD＝3＋3t－5t＝3－2t.

若△DEG∽△ACB，則＝或＝，

∴＝或＝.

∴t＝或t＝.

∴當(dāng)AD>AE時(shí)，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.

若△DEG∽△ACB，則＝或＝，

∴＝或＝.

∴t＝或t＝.

綜上所述，當(dāng)t＝或或或秒時(shí)，△DEG∽△ACB.