【題目】如圖,在梯形ABCD中,ADBC,BC18DBDC15,點(diǎn)EF分別在線段BD、CD上,DEDF5AE的延長線交邊BC于點(diǎn)G,AFBD于點(diǎn)N、其延長線交BC的延長線于點(diǎn)H

1)求證:BGCH

2)設(shè)ADx,ADN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;

3)聯(lián)結(jié)FG,當(dāng)HFGADN相似時,求AD的長.

【答案】1)見解析;(2;(3)當(dāng)HFGADN相似時,AD的長為3

【解析】

1)由ADBC,,結(jié)合DBDC15,DEDF5,從而得,據(jù)此可得答案;

2)作DPBC,NQAD,求得BPCP9DP12,由BGCH2x,BH18+2x,根據(jù),即,再根據(jù),由三角形的面積公式可得答案;

3)分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH兩種情況分別求解可得.

1)∵ADBC,

DBDC15,DEDF5,

,

BGCH

2)過點(diǎn)DDPBC,過點(diǎn)NNQAD,垂足分別為點(diǎn)PQ

DBDC15,BC18

BPCP9,DP12

BGCH2x,

BH18+2x

ADBC

,

,

,

ADBC,

∴∠ADN=∠DBC,

sinADNsinDBC,

,

0<x≤9).

3)∵ADBC,

∴∠DAN=∠FHG

i)當(dāng)∠ADN=∠FGH時,

∵∠ADN=∠DBC,

∴∠DBC=∠FGH,

BDFG

,

BG6,

AD3

ii)當(dāng)∠ADN=∠GFH時,

∵∠ADN=∠DBC=∠DCB,

又∵∠AND=∠FGH,

∴△ADN∽△FCG

,

,整理得x23x290,

解得,或(舍去).

綜上所述,當(dāng)HFGADN相似時,AD的長為3

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1)求證:ADCD;

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