【題目】如圖,O是等邊△ABC內一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′,下列結論:
①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到;&
②點O與O′的距離為4;
③∠AOB=150°;
④四邊形AOBO′的面積為6+3 ;
⑤S△AOC+S△AOB=6+.
其中正確的結論是_______________.
【答案】①②③⑤.
【解析】
證明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到,故結論①正確;
由△OBO′是等邊三角形,可知結論②正確;
在△AOO′中,三邊長為3,4,5,這是一組勾股數,故△AOO′是直角三角形;進而求得∠AOB=150°,故結論③正確;
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4,故結論④錯誤;
如圖②,將△AOB繞點A逆時針旋轉60°,使得AB與AC重合,點O旋轉至O′′點.利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形,將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO″+S△AOO″,計算可得結論⑤正確.
由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,
∴∠1=∠3,
又∵OB=O′B,AB=BC,
在△BO′A和△BOC中,
,
∴△BO′A≌△BOC(SAS),
又∵∠OBO′=60°,
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到,
故結論①正確;
如圖①,連接OO′,
∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,
∴△OBO′是等邊三角形,
∴OO′=OB=4.
故結論②正確;
∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.
在△AOO′中,三邊長為3,4,5,這是一組勾股數,
∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
故結論③正確;
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4,
故結論④錯誤;
如圖②所示,將△AOB繞點A逆時針旋轉60°,使得AB與AC重合,點O旋轉至O′′點.
易知△AOO′′是邊長為3的等邊三角形,△COO′′是邊長為3、4、5的直角三角形,
則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO'=S△COO'+S△AOO'=×3×4+×32=6+,
故結論⑤正確.
綜上所述,正確的結論為:①②③⑤.
故答案為:①②③⑤.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與坐標軸分別交于A,B,C三點,在拋物線上找到一點D,使得∠DCB=∠ACO,則D點坐標為____________________.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,3)、B(3,0),以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P.連接AP,若點C為AP的中點,連接OC,則OC的最小值為( 。
A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在中,,點為射線上一個動點(不與重合),以為一邊在的右側作,使,,過點作,交直線于點,連接.
(1)如圖①,若,則按邊分類:是 三角形,并證明;
(2)若.
①如圖②,當點在線段上移動時,判斷的形狀并證明;
②當點在線段的延長線上移動時,是什么三角形?請在圖③中畫出相應的圖形并直接寫出結論(不必證明).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A、B、C在同一直線上,△ABD,△BCE都是等邊三角形.
(1)求證:AE=CD;
(2)若M,N分別是AE,CD的中點,試判斷△BMN的形狀,并證明你的結論.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時,將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD(AB<BC)的對角線的交點O旋轉(①→②→③),圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點。
⑴該學習小組成員意外的發(fā)現圖①(三角板一直角邊與OD重合)中,BN2=CD2+CN2,在圖③中(三角板一邊與OC重合),CN2=BN2+CD2,請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現的結論選擇其一說明理由。
⑵試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數量關系,寫出你的結論,并說明理由。
⑶將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD,直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④,兩直角邊與AB、BC分別交于M、N,直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之 間所滿足的數量關系(不需要證明)
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F是對角線BD上兩點,且∠EAF=45°,將△ADF繞點A順時針旋轉90°后,得到△ABQ,連接EQ,求證:
(1)EA是∠QED的平分線;
(2)EF2=BE2+DF2.
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【題目】某中學對本校初2017屆500名學生中中考參加體育加試測試情況進行調查,根據男生1000米及女生800米測試成績整理,繪制成不完整的統計圖,(圖①,圖②),請根據統計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)該校畢業(yè)生中男生有 人;扇形統計圖中a= ;
(2)補全條形統計圖;
(3)若500名學生中隨機抽取一名學生,這名學生該項成績在8分及8分以下的概率是多少?
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【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關注,我市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調查的方式,并根據收集到的信息進行統計,繪制了如圖兩幅尚不完整的統計圖,請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有 人,扇形統計圖中“了解”部分所對應扇形的圓心角為 °;
(2)若該中學共有學生900人,請根據上述調查結果,估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數為 人;
(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生A、B、C和2個男生M、N中分別隨機抽取1人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到女生A的概率.
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