Question

【題目】如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：

①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；&

②點O與O′的距離為4；

③∠AOB=150°；

④四邊形AOBO′的面積為6＋3 ；

⑤S△AOC＋S△AOB=6＋.

其中正確的結論是_______________．

Answer 1

【答案】①②③⑤.

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；

由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結論④錯誤；

如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O′′點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO″+S△AOO″，計算可得結論⑤正確．

由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC(SAS)，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

故結論①正確；

如圖①，連接OO′，

∵OB=O′B,且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4.

故結論②正確；

∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故結論④錯誤；

如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O′′點.

易知△AOO′′是邊長為3的等邊三角形，△COO′′是邊長為3、4、5的直角三角形，

則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO'=S△COO'+S△AOO'=×3×4+×32=6+，

故結論⑤正確.

綜上所述，正確的結論為：①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.