Question

如圖，在梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=4，OB=10，tan∠OBC是方程x²+

3

2

x-1=0的一個根，以O(shè)為坐標原點，OB、OA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系．
（1）求C點坐標；
（2）求經(jīng)過O、C、B三點的拋物線解析式；
（3）M是（2）中拋物線上一動點，過M作x軸的平行線交（2）中的拋物線于另一點N（M在N左側(cè)）．問：是否存在點M使得以MN為直徑的圓正好與x軸相切？若不存在，請說明理由；若存在，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D，則CD=OA=4，解方程求tan∠OBC，在Rt△BCD中，解直角三角形求BD，OD=OB-BD，可求C點坐標；
（2）根據(jù)O、C、B三點的坐標，設(shè)交點式求拋物線解析式；
（3）存在，只要滿足MN的長的一半等于M點縱坐標的絕對值即可．

解答：解：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D，
∵AC∥OB，AO⊥OB，
∴CD=OA=4，
解方程x²+

3

2

x-1=0得，x₁=

1

2

，x₂=-2（舍去），
∴tan∠OBC=

1

2

，
在Rt△BCD中，BD=

CD

tan∠OBC

=8，
∴OD=OB-BD=10-8=2，
∴C（2，4）；

（2）∵O（0，0），B（10，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-10），
將C（2，4）代入，得a×2×（2-10）=4，
解得a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x（x-10）=-

1

4

x²+

5

2

x；

（3）存在．
設(shè)M點縱坐標為h，M、N的橫坐標為x₁、x₂，
則-

1

4

x²+

5

2

x=h，即x²-10x+4h=0，
MN=x₂-x₁=

(x1- x2)  2

=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

100-16h

，
當h＞0時，

100-16h

=2h，解得h=-2+

29

（舍去負值），
當h＜0時，

100-16h

=-2h，解得h=-2-

29

（舍去正值），
∴圓的半徑為=-2+

29

或2+

29

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是通過作輔助線，解直角三角形求C點坐標，確定拋物線解析式，再根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)解題．