Question

如圖①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F在AB上，讓△EFG的邊EF在AB上，點(diǎn)G在DC上，以每秒1個(gè)單位的速度沿著AB方向向右運(yùn)動，如圖②，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）在上述運(yùn)動過程中，請分別寫出當(dāng)四邊形FBCG為正方形和四邊形AEGD為平行四邊形時(shí)對應(yīng)時(shí)刻t的值或范圍；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為y軸，建立如圖③所示的坐標(biāo)系．求過A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）探究：延長EG交（2）中的拋物線于點(diǎn)Q，是否存在這樣的時(shí)刻t使得△ABQ的面積與梯形ABCD的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，解直角△DAF可得DF=，又FB=4-t，當(dāng)GF=FB時(shí)，四邊形FBCG為正方形，即=4-t，G、C重合之前，始終有GE∥OE，DG∥OE，故當(dāng)0＜t≤4時(shí)，四邊形AEGD為平行四邊形；
（2）解直角△EFG得GF=，EF=1，又AD=2，∴點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別是（），（5），拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可求拋物線解析式；
（3）梯形ABCD面積可求，△ABQ的底邊AB為已知，由此可求AB邊上的高，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式求橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求出E點(diǎn)位置，可得出運(yùn)動時(shí)間t．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF=，
當(dāng)時(shí)，四邊形FBCG為正方形．
當(dāng)0＜t≤4時(shí)，四邊形AEGD為平行四邊形．

（2）點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別是（），（5），
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x；

（3）∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴點(diǎn)Q（x，-x²+x），
過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，又B（5，0），
則S_△ABQ=AB•QM=|-x²+x|=|-x²+6x|；
又S_{四邊形ABCD}=（4+5）××=，
令|-x²+6x|=，
∵EG的延長線與拋物線交于x軸的上方，
∴-x²+6x=9解得x=3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-×9+×3=，
∵∠QEM=60°，
∴EM==÷=，
∴t=3-（秒）．
即存在這樣的時(shí)刻t，當(dāng)t=秒時(shí)，△AQB的面積與梯形ABCD的面積相等．
點(diǎn)評：本題考查了四邊形的判定方法，點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線解析式的求法，并用面積法探討了一些實(shí)際問題，具有較強(qiáng)的綜合性．