Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上(端點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連結(jié)AE、AF.那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)(或OA＝OC)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由見(jiàn)解析

【解析】試題分析：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)(或OA＝OC)時(shí)，四邊形AECF是矩形．如圖，由CE平分∠BCA可得∠1＝∠2，由MN∥BC可得∠1＝∠3，所以∠3＝∠2，所以 EO＝CO，

同理可證FO＝CO，所以EO＝FO，結(jié)合OA＝OC可得四邊形AECF是平行四邊形，由CF是∠BCA的外角平分線可得∠4＝∠5，不難證明∠2＋∠4＝90°，所以平行四邊形AECF是矩形．

試題解析：

當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)(或OA＝OC)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

證明：如圖，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，

又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，

∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，

同理，FO＝CO，∴EO＝FO，

又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF是∠BCA的外角平分線，∴∠4＝∠5，

又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，

又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．