Question

（2005•無(wú)錫）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=k（k是正整數(shù)），正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)，頂點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1．將△PAE在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、…連續(xù)地翻轉(zhuǎn)n次，使頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置．

（1）如果我們把正方形ABCD的邊展開(kāi)在一直線上，那么這一翻轉(zhuǎn)過(guò)程可以看作是△PAE在直線上作連續(xù)的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．圖2是k=1時(shí)，△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)過(guò)程的展開(kāi)示意圖．請(qǐng)你探索：若k=1，則△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)n=______時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置；
（2）若k=2，則n=______時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置；若k=3，則n=______時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置；
（3）請(qǐng)你猜測(cè)：使頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置的n值與k之間的關(guān)系（請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示n）．

Answer 1

【答案】分析：正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置，實(shí)際上正方形周長(zhǎng)和與三角形的周長(zhǎng)和相等，正方形的周長(zhǎng)=4k，三角形的周長(zhǎng)=3，即找4k，3的最小公倍數(shù)，由此求出k=1，2，3時(shí)n的值；故當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k．
解答：解：正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)P第一次回到原來(lái)的起始位置，實(shí)際上正方形周長(zhǎng)和與三角形的周長(zhǎng)和相等，正方形的周長(zhǎng)=4k，三角形的周長(zhǎng)=3，即找4k，3的最小公倍數(shù)；
（1）當(dāng)k=1時(shí)，4k，3的最小公倍數(shù)是12，故n=12；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，4k，3的最小公倍數(shù)是24，故n=24；當(dāng)k=3時(shí)，4k，3的最小公倍數(shù)是12，故n=12；

（3）當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)n=4k，當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)n=12k．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形在正方形中的翻轉(zhuǎn)中周長(zhǎng)的最小公倍數(shù)問(wèn)題，注意找到等量關(guān)系．