Question

2．已知a＞0，直線L₁：y=-$\frac{1}{4a}$與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線L₂與拋物線y=ax²在第二象限交于點(diǎn)A，與直線L₁交于點(diǎn)B，且MA=MB，平移直線L₂，使之與拋物線有唯一公共點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)P．求證：$\frac{OM}{OP}$為一定值．

Answer 1

分析 既然要證明OM與OP的比值為定值，那么只需分別表示出兩條線段的長度，然后作商即可．易求N、M的坐標(biāo)，從而求得MN的長度，由于M是AB中點(diǎn)，于是考慮作AH垂直BN于H，則AH的長度是MN的2倍，進(jìn)而求出A的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求得A的坐標(biāo)，接著可得出直線AB的解析式，平移后的直線與AB是平行的，因此只需設(shè)出平移后的直線的截距，然后將平移后的直線解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，利用判別式為0得出截距，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，接著即可算出OM與OP的長度，兩者相比必為常數(shù)．

解答 證明：∵y=-$\frac{1}{4a}$與y軸交于點(diǎn)N，
∴N（0，-$\frac{1}{4a}$），
∵點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，
∴M（0，$\frac{1}{4a}$），
∴MN=$\frac{1}{2a}$，
過點(diǎn)A作AH⊥BN于H，如圖，

∵M(jìn)A=MB，
∴AH=2MN=$\frac{1}{a}$，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{a}-\frac{1}{4a}=\frac{3}{4a}$，
∵A點(diǎn)在拋物線y=ax²上，且在第二象限，
∴A（$-\frac{\sqrt{3}}{2a}$，$\frac{3}{4a}$），
∴B（$\frac{\sqrt{3}}{2a}$，$-\frac{1}{4a}$），
∴直線AB的解析式為：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{4a}$，
設(shè)將AB平移到與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的直線解析式為：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y整理得：$3a{x}^{2}+\sqrt{3}x-3b=0$，
∴△=3+36ab=0，
∴$b=-\frac{1}{12a}$，
∴P（0，-$\frac{1}{12a}$），
∴OP=$\frac{1}{12a}$，OM=$\frac{1}{4a}$，
∴$\frac{OM}{OP}=3$（定值）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)點(diǎn)的對稱，中位線、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，直線的平移，二元二次方程組，一元二次方程根的判別式等知知識點(diǎn)，題雖小，綜合性卻很強(qiáng)，有一定難度．求得AB的解析式進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵所在．