Question

如圖，ABCD中，AC與BD的和為28，CD＝5．(1)求△COD的周長；(2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積相等嗎？為什么？若ABCD的面積是56，則△AOB的面積等于多少？(3)△ACD與△BCD的面積相等嗎？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由于在ABCD中 　　AO＝OC，BO＝OD，且AC＋BD＝28 　　所以：CO＋OD＝14 　　又因為CD＝5 　　所以：△COD的周長為19 　　(2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積相等．其理由是：ABCD中，BO＝DO，且△AOB與△AOD的邊OB、OD上的高相同，都是AE(過A作AE⊥BD，點E是垂足)，所以 　　S△ABO＝S△ADO 　　用同樣的方法，可得 　　S△ADO＝S△CDO＝S△BOC 　　即：S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD 　　亦即：△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積相等． 　　又由于SABCD＝56 　　所以：4S△AOB＝56 　　即：S△AOB＝14 　　亦即：△AOB的面積為14． 　　(3)方法一：由(2)可知S△AOD＝S△COD＝S△BOC 　　所以：S△AOD＋S△DOC＝S△BOC＋S△DOC 　　所以：S△ACD＝S△BCD 　　即：△ACD與△BCD的面積相等． 　　方法二：由于ABCD中AB∥CD， 　　所以：△ACD與△BCD的邊CD上的高相等． 　　所以：S△ACD＝S△BCD 　　即：△ACD與△BCD的面積相等．

提示：

思路與技巧：(1)要求△COD的周長，一般思路是先求出CO、DO、CD這三條邊的長(其中CD是已知的)，但本題中由已知條件(AC與BD的和為28以及CD＝5)，不難分別求出CO、OD的長．事實上我們可根據(jù)“平行四邊形對角線互相干分”，再利用“整體思想”可求出CO＋OD，從而解決問題；(2)觀察△AOB與△AOD，它們有相同的高，相等的底邊(OB＝OD)，可得S△ABO＝S△ADO(注：S△ABO表示△ABO的面積，以下相同．)，依此類推：S△ADO＝S△CDO＝S△BCO；(3)兩種思路：第一種思路是根據(jù)(2)中的結(jié)論：S△AOD＝S△COD＝S△BOC，可得到S△AOD＋S△COD＝S△BOC＋S△COD，即S△ACD＝S△BCD，第二種思路是觀察到△ACD與△BCD有相同的底邊CD，要說明二者面積相等，只需二者CD邊上的高相等就可以了．事實上，這兩條高恰好是兩平行線AB與CD之間的距離，顯然相等，故可以得到S△ACD＝S△BCD．