Question

設(shè)拋物線C的解析式為：y=x²-2kx+（

3

+k）k，k為實(shí)數(shù)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程（用k表示）；
（2）任意給定k的三個不同實(shí)數(shù)值，請寫出三個對應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；試說明當(dāng)k變化時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象；
（3）在第一象限有任意兩圓O₁、O₂相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切．設(shè)兩圓在x軸上的切點(diǎn)分別為A、B（OA＜OB），試問：

OA

OB

是否為一定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（4）已知一直線L₁與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長都為6，求這條直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸和頂點(diǎn)的公式即可得出本題的結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)（k，

3

k），可得出無論k取什么值，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的比例關(guān)系是不變的，因此拋物線的頂點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，且斜率為

3

．
（3）不難得出OA：OB正好是兩圓的半徑比，因此可通過求兩圓半徑的比例關(guān)系來求OA，OB的比例關(guān)系，如圖，過O₁作O₂B的垂線，那么O₂H就是兩圓的半徑差，O₁O₂是兩圓的半徑和，可根據(jù)∠O₂O₁H的度數(shù)求出兩圓的半徑的比例關(guān)系，即可得出OA，OB的比例關(guān)系．
（4）由于直線l₁截的線段都相等，因此它必與（2）中求出的正比例的解析式平行，即斜率相等，要求直線l₁的解析式，需知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即b的值．為了簡便，可設(shè)直線l₁與拋物線y=x²相交（原拋物線中k=0），可聯(lián)立兩函數(shù)式，可得出一個一元二次方程，方程的解即為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用b表示出兩橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)而可表示出兩點(diǎn)的水平距離．然后根據(jù)直線與x軸的夾角的度數(shù)和兩點(diǎn)的距離（已知了距離為6），可求出b的值，即可確定出直線l₁的解析式．

解答：解：（1）對稱軸方程x=-

b

2a

=k，

4ac-b2

4a

=

4×( 3 +k)k

4

=

3

k，
∴頂點(diǎn)（k，

3

k），對稱軸方程x=k．

（2）①k=1時(shí)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

）；
②k=2時(shí)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2

3

）；
③k=3時(shí)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3

3

）．
得出L：y=

3

x，畫出圖象．

（3）依題意作出下圖：
在L：y=

3

x上取一點(diǎn)（1，

3

）可得tan∠DOA=

3

1

=

3

，
即∠DOA=60°，
又O₁O₂在∠DOA的平分線上
∴∠AOO₁=∠HO₁O₂=30°，
設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r₁、r₂，
由Rt△AOO₁∽Rt△HO₁O₂有

OA

OB

=

O1A

O1B

=

r1

r2

，
在Rt△O₁HO₂中，由sin30°=

HO2

O1O2

=

r2-r1

r2+r1

=

1

2

，
得r₂=3r₁，
把（2）代入（1）
得：

OA

OB

=

1

3

，即為定值．

（4）由題意，作圖探索可知：
直線L₁應(yīng)與L平行，即L₁與x軸正半軸的夾角為60°，從而可設(shè)L₁與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），則與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

3

b，0），
故L₁的方程為y=

3

x+b，
又由題意可設(shè)k=0得C中的一條拋物線y=x²，
設(shè)L₁與y=x²相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MP⊥PN（如圖），
聯(lián)立

y=x2 y= 3 x+b

，
得x²-

3

x-b=0，
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=

3

，x₁x₂=-b，
則|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3+4b

=|MP|，
在Rt△MPN中，∠NMP=60°，
則cos60°=

|MP|

|MN|

=

3+4b

6

=

1

2

，
解得b=

3

2

，
∴求得的L₁的解析式為：y=

3

x+

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）．