Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）
（1）若m=1，求出此時(shí)方程的實(shí)數(shù)根；
（2）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；
（3）設(shè)m＞0，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）、若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂-2x₁，求函數(shù)的解析式，并畫(huà)出其圖象．（畫(huà)草圖即可，不必列表）

Answer 1

分析：（1）把m的值，代入方程，解方程即可；
（2）運(yùn)用根的判別式判斷，列出判別式的表達(dá)式，再變形成為非負(fù)數(shù)，得出△≥0即可；
（3）可根據(jù)求根公式求出x₁、x₂，代入y=x₂-2x₁中，得出關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)m＞0，畫(huà)出函數(shù)圖象．

解答：解：（1）若m=1，方程化為x²-5x+4=0
即（x-1）（x-4）=0，得x-1=0或x-4=0，
∴x₁=1或x₂=4；

證明：（2）∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²
∵m≠0，
∴（m+2）²≥0，即△≥0
∴方程有實(shí)數(shù)根；

解：（3）由求根公式，得x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1
∵

2m+2

m

=2+

2

m

∵m＞0，
∴

2m+2

m

=2+

2

m

＞2
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x2=

2m+2

m

∴y=x2-2x1=

2m+2

m

-2×1=

2

m

即y=

2

m

(m＞0)為所求．
此函數(shù)為反比例函數(shù)，其圖象如圖所示：即y=

2

m

(m＞0)為所求．
此函數(shù)為反比例函數(shù)，其圖象如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)（點(diǎn)評(píng)不合題意）及一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（此題并沒(méi)有設(shè)計(jì)，需要重新檢查此題），是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度中等的題目．