Question

已知二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（1，0），（-3，0），（0，-）．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）若反比例函數(shù)y₂=（x＞0）的圖象與二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A（x，y），x落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間，請(qǐng)你觀察圖象，寫(xiě)出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；
（3）若反比例函數(shù)y₂=（x＞0，k＞0）的圖象與二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x滿(mǎn)足2＜x＜3，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，可用交點(diǎn)式來(lái)設(shè)二次函數(shù)的解析式．然后將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出函數(shù)的解析式．
（2）可根據(jù)（1）的拋物線(xiàn)的解析式和反比例函數(shù)的解析式來(lái)聯(lián)立方程組，求出的方程組的解就是兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后找出第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出符合條件的x的值，進(jìn)而可寫(xiě)出所求的兩個(gè)正整數(shù)．
（3）點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x滿(mǎn)足2＜x＜3，可通過(guò)x=2，x=3兩個(gè)點(diǎn)上拋物線(xiàn)與反比例函數(shù)的大小關(guān)系即可求出k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-1）（x+3），
將（0，-）代入，解得a=．
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x²+x-．


（2）正確的畫(huà)出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，
由圖象可知，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x落在1和2之間，從而得出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)為1與2．

（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)2＜x＜3時(shí)，
對(duì)y₁=x²+x-，y₁隨著x增大而增大，
對(duì)y₂=（k＞0），y₂隨著x的增大而減小．
因?yàn)锳（x，y）為二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
所以當(dāng)x=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得y₂＞y₁，
即＞×2²+2-，
解得k＞5．
同理，當(dāng)x=3時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例上方得y₁＞y₂，
即×3²+3-＞，
解k＜18，
所以K的取值范圍為5＜k＜18．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及在直角坐標(biāo)系中作圖、讀圖的能力．