Question

7．在坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2），以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．
①求邊AB的長(zhǎng)； 
②求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
③你能否在x軸上找一點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最��？如果能，請(qǐng)畫出M點(diǎn)，并直接寫出△MDB周長(zhǎng)的最小值；如果不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①直接利用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式即可；
②先判斷出，△BCE≌△ABO，進(jìn)而得出CE=OB=2，BE=OA=4，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)；
③同②的方法得出點(diǎn)D坐標(biāo)，再作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接DG即可找出點(diǎn)M，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出DG，BD，即可得出△MDB周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：①∵A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
②如圖1，

∵A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2），
∴OA=4，OB=2，
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于E，
∴∠BEC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
在△BCE和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AOB=90°}\\{∠CBE=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴CE=OB=2，BE=OA=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（2，6）；
③如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于F，
同②的方法得出，△ADF≌△BAO，
∴DF=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴D（-6，4），

作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G，連接DG交x軸于M，
∵B（0，2），
∴G（0，-2），BM=GM，
∵D（-6，4），
∴BD=2$\sqrt{10}$，DG=$\sqrt{{6}^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴△MDB周長(zhǎng)的最小值=BD+BM+DM=BD+GM+DM=BD+DG=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱性，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BCE≌△ABO，是一道比較簡(jiǎn)單的中考�？碱}．