Question

一個(gè)工廠得到任務(wù)，需要加工A零件6000個(gè)和B零件2000個(gè)，該廠共有工人214名，每個(gè)人加工A零件5個(gè)的時(shí)間可以加工B零件3個(gè)．現(xiàn)將工人分成兩組，分別加工一種零件，同時(shí)開始，應(yīng)怎樣分組才能使任務(wù)最快完成________．

Answer 1

加工A，B零件的人數(shù)分別為137，77名時(shí)可以最快地完成任務(wù)．
分析：設(shè)有x人加工A零件，則有214-x人加工B零件，在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)工人加工A零件的數(shù)目為5k，加工B零件的數(shù)目為3k，當(dāng)同時(shí)完成任務(wù)時(shí)能最快完成任務(wù)．
解答：設(shè)有x人加工A零件，則有214-x人加工B零件，在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)工人加工A零件的數(shù)目為5k，加工B零件的數(shù)目為3k，根據(jù)題意得：T_A=，T_B=
其中k是一個(gè)常數(shù)．最后完成任務(wù)的時(shí)間就是T=max{T_A，T_B}=f（x），其中max{T_A，T_B}表示T_A與T_B中的較大者，而f（x）=max{，}；
現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為：自然數(shù)x（1≤x≤213）取何值時(shí)，f（x）有最小值？當(dāng)時(shí)，
解得：x=137，則x=137或138，
當(dāng)x=137時(shí)，f（x）=f（137）=max{，}=；
當(dāng)x=138時(shí)，f（x）=f（138）=max{，}=；
∴f（137）＜f（138），
當(dāng)x＜137時(shí)，∵，∴f（x）＞f（137）；
當(dāng)x＞138時(shí)，∵，∴f（x）＞f（138）；所以f（x）的最小值在x=137時(shí)取到，即加工A，B零件的人數(shù)分別為137，77名時(shí)可以最快地完成任務(wù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，涉及到最值的求法，方案的設(shè)計(jì)，最值的求法是解題的難點(diǎn)．