Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若b=2，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個相等的實數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根，則方程x²-bx+ac=0也一定有兩個不等的實數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若x是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則b²-4ac=（2ax+b）²，其中正確的（ ）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．①②③④
D．只有③④

Answer 1

【答案】分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了．④難度較大，用到了求根公式表示x．
解答：解：①若b=2，方程兩邊平方得b²=4ac，即b²-4ac=0，所以方程ax²+bx+c=0一定有兩個相等的實數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根，則b²-4ac＞0
方程x²-bx+ac=0中根的判別式也是b²-4ac=0，所以也一定有兩個不等的實數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac²+bc+c=0成立，
當(dāng)c≠0時ac+b+1=0成立；當(dāng)c=0時ac+b+1=0不成立；
④若x是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x=，
把x的值代入（2ax+b）²，可得b²-4ac=（2ax+b）²，
綜上所述其中正確的①②④．
故選B
點評：此題主要考查了根的判別式及其應(yīng)用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x，整體代入求b²-4ac=（2ax+b）²．
總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．