Question

如圖所示，拋物線m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．將拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C₁，與x軸的另一個交點為A₁．
（1）當a=-1，b=1時，求拋物線n的解析式；
（2）四邊形AC₁A₁C是什么特殊四邊形，請寫出結(jié)果并說明理由；
（3）若四邊形AC₁A₁C為矩形，請求出a，b應滿足的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a=-1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C₁關于點B中心對稱，得出二次函數(shù)的頂點坐標，即可得出答案；
（2）利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（3）利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．
解答：解：（1）當a=-1，b=1時，拋物線m的解析式為：y=-x²+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C與C₁關于點B中心對稱，
∴拋物線n的解析式為：y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）
四邊形AC₁A₁C是平行四邊形．
理由：連接AC，AC₁，A₁C，
∵C與C₁、A與A₁都關于點B中心對稱，
∴AB=BA₁，BC=BC₁，
∴四邊形AC₁A₁C是平行四邊形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax²+b=0，∴，
∴，
∴．
要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，
∴，∴，
∴ab=-3．
∴a，b應滿足關系式ab=-3．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和點的坐標關于一點中心對稱的性質(zhì)，靈活應用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．