Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,邊長為5的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動,頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C. D都在第一象限。

(1)當點A坐標為(4,0)時，求點D的坐標；

(2)求證：OP平分∠AOB；

(3)直接寫出OP長的取值范圍(不要證明).

Answer 1

【答案】（1）D(7,4);（2）見解析；（3） <OP5.

【解析】

（1）作DM⊥x軸于點M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通過證明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB，DM=OA，從而求出點D的坐標．

（2）過P點作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明OP是角平分線．

（3）因為OP在∠AOB的平分線上，就有∠POA=45°，就有OP= PE，在Rt△APE中運用三角函數(shù)就可以表示出PE的范圍，從而可以求出OP的取值范圍.

(1)作DM⊥x軸于點M，

∴∠AMD=90°.

∵∠AOB=90°，

∴∠AMD=∠AOB.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°，

∴∠OAB+∠DAM=90.

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠DAM=∠OBA.

在△DMA和△AOB中，

，

∴△DMA≌△AOB，

∴AM=OB，DM=AO.

∵A(4,0)，

∴OA=4，

∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：

OB= =3.

∴AM=3，MD=4，

∴OM=7.

∴D(7,4);

(2)證明：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點

∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°，

∴∠FPB=∠EPA，

∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，

∴△PBF≌△PAE，

∴PE=PF，

∴點P都在∠AOB的平分線上.

(3)作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，則PE=h，設(shè)∠APE=α.

在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=.

∴PE=PAcosα=cosα.

∵頂點A在x軸正半軸上運動,頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，

∴0°α<45°，

∴ <cosα1.

∴ <PE，

∵OP= PE，

∴ <OP5.