Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y₁=mx²-（2m+3）x+m+3與x軸交于點A、點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（其中m＞0）．
（1）求：點A、點B的坐標（含m的式子表示）；
（2）若OB=4•AO，點D是線段OC（不與點O、點C重合）上一動點，在線段OD的右側(cè)作正方形ODEF，連接CE、BE，設(shè)線段OD=t，△CEB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，通過解方程即可得到A、B點的坐標．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果能得到OA、OB的長，結(jié)合OB=4OA的條件能求出m的值．若設(shè)直線EF與線段BC的交點為G，那么以EG為底、OB為高能求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，在表達EG長時，要注意t的取值范圍．
解答：解：（1）二次函數(shù)y₁=mx²-（2m+3）x+m+3中，令y=0，得：
0=mx²-（2m+3）x+m+3，
解得：x₁=1，x₂=；
∴A（1，0）、B（，0）．

（2）由（1）知：OB=，OA=1，已知 OB=4•OA，得：
=4，解得：m=1；
在Rt△OBC中，OB=OC=4，所以∠OBC=45°；
①當(dāng)0＜t＜2時，如圖①；
由于四邊形ODEF是正方形，所以O(shè)F=EF=t，BF=OB-OF=4-t；
∴GF=BF=4-t，GE=GF-EF=4-t-t=4-2t；
∴S=GE•OB=8-4t；
②當(dāng)2＜t＜4時，如圖②；
同①可得：GE=2t-4；
S=GE•OB=4t-8；
綜上，得：
當(dāng)0＜t＜2時，S=8-4t；
當(dāng)2＜t＜4時，S=4t-8．
點評：題目主要考查的是二次函數(shù)以及圖形的面積問題；（2）題在解答時一定要注意自變量的取值范圍，圖形動點問題通常要找出關(guān)鍵“點”，然后再確定對應(yīng)的分段函數(shù)，如此題，當(dāng)點E在線段BC上時，就是該題的一個關(guān)鍵“點”．