Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是M（0，c）．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式 ______，伴隨直線的解析式 ______；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是 ______；
（3）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（4）若拋物線L與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB=CD．請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

解：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3；
（3）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設(shè)它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-，），
∴=m•（-）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c；
設(shè)伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-，）在此直線上，
∴，
∴k=，
∴伴隨直線解析式為y=x+c；
（4）∵拋物線L與x軸有兩交點，
∴△₁=b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac；
∵x₂＞x₁＞0，
∴x₂+x₁=-＞0，x₁•x₂=＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
對于伴隨拋物線有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±．
∴C（-，0），D（，0），CD=2，
又AB=x₂-x₁====，
∵AB=CD，則有：2=，即b²=8ac，
綜合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需滿足的條件為：
b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．
分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標．然后根據(jù)M的坐標用頂點式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式．根據(jù)M，P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式；
（2）由題意可知：伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標，伴隨拋物線與伴隨直線的交點（與y軸交點除外）是拋物線的頂點，據(jù)此可求出拋物線的解析式；
（3）方法同（1）；
（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：
拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點，因此△＞0，①
由于拋物線L中，x₂＞x₁＞0，因此拋物線的對稱軸x＞0，兩根的積大于0．②
根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．