Question

如圖，直線y=-x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，∠OAB的平分線交OB于點(diǎn)C₁，過(guò)點(diǎn)C₁作C₁D₁⊥AC₁交AB于點(diǎn)D₁，過(guò)點(diǎn)D₁作D₁E₁⊥OB，D₁C₂⊥C₁D₁，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E₁、C₂，過(guò)點(diǎn)C₂作C₂D₂⊥D₁C₂交AB于點(diǎn)D₂，過(guò)點(diǎn)D₂作D₂E₂⊥OB，D₂C₃⊥C₂D₂，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E₂、C₃，…依次操作．記△C₁D₁C₂的面積為S₁，△C₂D₂C₃的面積為S₂，…則S₅=________．

Answer 1

分析：首先根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)；
再根據(jù)角平分線定理可以求得OC₁的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得AC₁的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，可以求得△C₁D₁C₂的面積，以此類推，即可求解．
解答：令x=0，則y=2，即A（0，2）；
令y=0，則x=，即B（，0）．
根據(jù)勾股定理，得AB=．
∵∠OAB的平分線交OB于點(diǎn)C₁，C₁D₁⊥AC₁，D₁E₁⊥OB，
∴∠C₁D₁E₁=∠AD₁C₁．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到OC₁=C₁E₁．
設(shè)OC₁=C₁E₁=x．
根據(jù)角平分線定理，得
，
即，
解，得x=1．
則根據(jù)勾股定理，得AC₁=．
根據(jù)△E₁D₁C₁∽△OAC₁，得
D₁C₁=．
則C₂E₁=．
根據(jù)△C₂D₁C₁∽△OAC₁，得
==，
則S₁=．
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步求得=．
S₂=．
以此類推，則S₅=．
點(diǎn)評(píng)：此本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用．
題中運(yùn)用直角三角形的知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，要以△C₁D₁C₂的面積為突破口，求與之相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形相似，本題屬中等難度．