Question

【題目】如圖，，為中點，點在線段上(不與點，重合)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到扇形，，分別切優(yōu)弧于點，，且點，在異側(cè)，連接．

(1)求證：；

(2)當時，求的長(結(jié)果保留)；

(3)若的外心在扇形的內(nèi)部，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)；(3)4＜OC＜8.

【解析】(1)連接OQ，證明AP，BQ所在兩個三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的長求出∠BOQ的度數(shù)，得到所對圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解；(3)△APO的外心是OA的中點，

試題分析：

試題解析：(1)證明：連接OQ.

∵AP，BQ分別與相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.

∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.

(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.

∵OQ=8×cos60°=4，∴的長為=.

(3)設(shè)點M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點，∴OM=4.

當點M在扇形的內(nèi)部時，OM＜OC，∴4＜OC＜8.