Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)．

【解析】

（1）由題意先求出A、C的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化，BD的長是定值，要使的周長最小則有點(diǎn)、、在同一直線上，據(jù)此進(jìn)行分析求解.

解：（1），

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為.把，代入，得，

解得.

拋物線的解析式為.

（2）存在.

把代入，

解得，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

點(diǎn)的橫線坐標(biāo)為

.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

如圖，設(shè)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接、、、，

，

的周長等于，

又的長是定值，

點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，的周長最小，

由、可得直線的解析式為，

拋物線的對(duì)稱軸是，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得的周長最小.