Question

【題目】如圖，把等邊△ABC沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上的F處，給出以下結(jié)論：

①∠BDF=∠EFC；

②BDCE=BFCF；

③S△BDF+S△EFC=；

④若BF：CF=1：2，則AD：AE=4：5．其中正確的結(jié)論有_____．（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①根據(jù)∠CFE+∠DFE=120°，∠BDF+∠DFB=120°，即可得到∠BDF=∠EFC；②根據(jù)△BDF∽△CFE，可得，即可得BDCE=BFCF；③當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，S△BDF+S△EFC=成立，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，S△BDF+S△EFC=0；④設(shè)BF=1，CF=2，則BC=3=AB=AC，設(shè)DF=x=AD，則BD=3﹣x，依據(jù)，可得CE=，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到，進(jìn)而得到AD：AE=4：5．

①由折疊可得，∠DFE=∠A=60°，

∴∠CFE+∠DFE=120°，

∵∠B=60°，

∴∠BDF+∠DFB=120°，

∴∠BDF=∠EFC，故①正確；

②∵∠B=∠C=60°，∠BDF=∠EFC，

∴△BDF∽△CFE，

∴ ，

即BDCE=BFCF，故②正確；

③當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，S△BDF+S△EFC=成立，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，S△BDF+S△EFC=0，

此時(shí)，S△BDF+S△EFC=不成立，故③錯(cuò)誤；

④設(shè)BF=1，CF=2，則BC=3=AB=AC，

設(shè)DF=x=AD，則BD=3﹣x，

由，可得 ，

解得CE=，

∴AE=3﹣=EF，

由，可得 ，

解得x= ，

∴，

∴AD：AE=4：5，故④正確．

故答案為：①②④．