Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸．一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），且點(diǎn)坐標(biāo)為．平行于軸的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)．當(dāng)為何值時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

（1）把代入得，
一次函數(shù)的解析式為；
二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入得，
二次函數(shù)解析式為．
（2）由
解得或，
，
過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，
則，
直角梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)為，
過(guò)作垂直于直線(xiàn)于點(diǎn)，則，，
，
的長(zhǎng)等于中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的2倍，
以為直徑的圓與直線(xiàn)相切．
（3）平移后二次函數(shù)解析式為，
令，得，，，
過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線(xiàn)上，點(diǎn)為定點(diǎn)，
要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
此時(shí)，半徑為2，面積為，
設(shè)圓心為中點(diǎn)為，連，則，
在三角形中，，
，而，，
當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為．
說(shuō)明：本答案解答題中解法只給出了1種或2種，其它解法只要步驟合理、解答正確均應(yīng)得到相應(yīng)分?jǐn)?shù)．

（1）已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．由于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，因此可設(shè)其解析式為y=ax²，直接將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線(xiàn)的距離和圓的半徑長(zhǎng)．由于直線(xiàn)l平行于x軸，因此圓心到直線(xiàn)l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中兩函數(shù)的解析式即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出AB的長(zhǎng)．然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可；
（3）先設(shè)出平移后拋物線(xiàn)的解析式，不難得出平移后拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2．因此過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心必在直線(xiàn)x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點(diǎn)的距離也要最小（設(shè)圓心為C），即F，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是2．C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）（可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)）．可設(shè)出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，表示出MN的長(zhǎng)，如果設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為E，那么可表示出ME的長(zhǎng)，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，經(jīng)過(guò)比較即可得出平移的距離，即t的值）．