Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；

②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；

③若另有一動(dòng)點(diǎn)P，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也從點(diǎn)A出發(fā)沿AO運(yùn)動(dòng)．在②的條件下，PM＋PN的長(zhǎng)度也剛好最小，求動(dòng)點(diǎn)P的速度．

 

Answer 1

 

（1）（10,9）

（2）

①6

②10   最小面積為54

③動(dòng)點(diǎn)P的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度/ 秒

解析:解（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，∴OD=AB=10 

∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9 

∴B（10，9） ……2分

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t   

∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半

∴  

∴t=6  …5分

②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，則   ……6分

∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小

∴當(dāng)t=10時(shí)，s最小，最小面積為54�！�8分

③如圖，取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N/，連結(jié)MN/交AO于點(diǎn)P，

此時(shí)PM＋PN=PM＋PN/=MN長(zhǎng)度最小。    ……9分

當(dāng)t=10時(shí)，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）    ……10分

設(shè)直線MN/的函數(shù)關(guān)系式為，則

 解得                ……11分

∴P（0，） 

∴AP=OA－OP=

∴動(dòng)點(diǎn)P的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度/ 秒   ……12分