Question

（1）已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點(diǎn)E．求證：AE=BE；

（2）已知：如圖，⊙O₁與坐標(biāo)軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)O₁的縱坐標(biāo)為．求⊙O₁的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，可以判定Rt△ACE≌Rt△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，AE=BE．
（2）已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知弦AB的長(zhǎng)等于4，點(diǎn)O₁的縱坐標(biāo)為弦的弦心距的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求出⊙O₁的半徑．
解答：（1）證明：在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC與∠BED是對(duì)頂角，
∴∠AEC=∠BED，
在△RTACE≌Rt△BDE中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDE，
∴AE=BE．

（2）解：過(guò)點(diǎn)O₁作O₁C⊥AB，垂足為C，
則有AC=BC，
由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AO₁C中，
∵O₁的縱坐標(biāo)為，
∴O₁C=．
∴⊙O₁的半徑O₁A==3．
點(diǎn)評(píng)：（1）一般情況下，證明線段相等時(shí)，可以通過(guò)證全等三角形證得．
（2）解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（）²成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．