Question

如圖，點A（m，m+1），B（m+1，2m-3）都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求m，k的值；  
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析：（1）利用兩點都在圓上，均滿足反比例函數(shù)的解析式即可求列出有關(guān)m的方程，然后求得m的值即可求得兩點的坐標，從而求得比例系數(shù)k；
（2）分當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時和當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時兩種情況分類討論即可；

解答：解：（1）由題意可知，m（m+1）=（m+1）（2m-3）
解得 m₁=3，m₂=-1（舍去）
∴A（3，4），B（4，3）；
∴k=4×3=12．  

（2）存在兩種情況，如圖：

①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸
上時，設(shè)M₁點坐標為（x₁，0），N₁點坐標為（0，y₁）．
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，
再向下平移3個單位得到的（也可看作向下平移3個單位，再向左平移3個單位得到的）．
由（1）知A點坐標為（3，4），B點坐標為（4，3），
∴N₁點坐標為（0，1），
M₁點坐標為（1，0）．      
設(shè)直線M₁N₁的函數(shù)表達式為y=k₁x+1，把x=1，y=0代入，解得k₁=-1．
∴直線M₁N₁的函數(shù)表達式為y=-x+1．
②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設(shè)M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂）．
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂．
∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關(guān)于原點O成中心對稱．
∴M₂點坐標為（-1，0），N₂點坐標為（0，-1）．
設(shè)直線M₂N₂的函數(shù)表達式為y=k₂x-1，把x=-1，y=0代入，解得k₂=-1，
∴直線M₂N₂的函數(shù)表達式為y=-x-1． 
所以，直線MN的函數(shù)表達式為y=-x+1或y=-x-1．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，過某個點，這個點的坐標應(yīng)適合這個函數(shù)解析式．平行四邊形從動態(tài)來看也可以是由一條線段平移得到的．