【題目】(1)探究新知:如圖1,已知與的面積相等,試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
①如圖2,點,在反比例函數(shù)的圖像上,過點作軸,過點作軸,垂足分別為,,連接.試證明:.
②若①中的其他條件不變,只改變點,的位置如圖3所示,請畫出圖形,判斷與的位置關(guān)系并說明理由.
【答案】(1),理由見解析;(2)①見解析;②,理由見解析.
【解析】
(1)分別過點C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足為G,H,則∠CGA=∠DHB=90°,根據(jù)△ABC與△ABD的面積相等,證明AB與CD的位置關(guān)系;
(2)連結(jié)MF,NE,設(shè)點M的坐標(biāo)為(x1,y1),點N的坐標(biāo)為(x2,y2),進一步證明S△EFM=S△EFN,結(jié)合(1)的結(jié)論即可得到MN∥EF;
(3)連接FM、EN、MN,結(jié)合(2)的結(jié)論證明出MN∥EF,GH∥MN,于是證明出EF∥GH.
(1)如圖1,分別過點、作、,垂足分別為、,
則,
∴,
∵且,
,
∴,
∴四邊形為平行四邊形,
∴;
(2)①如圖2,連接,,
設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,
∵點,在反比例函數(shù)的圖像上,
∴,.
∵軸,軸,且點,在第一象限,
∴,,,.
∴,,
∴,
從而,由(1)中的結(jié)論可知:;
②如圖
,
理由:連接,,
設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,
由(2)①同理可得:
,,
∴,
從而,由(1)中的結(jié)論可知:.
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【題目】學(xué)著說點理:補全證明過程:
如圖,已知,,垂足分別為,,,試證明:.請補充證明過程,并在括號內(nèi)填上相應(yīng)的理由.
證明:∵,(已知)
∴(___________________),
∴(___________________),
∴________(___________________).
又∵(已知),
∴(___________________),
∴________(___________________),
∴(___________________).
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【題目】某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒.2014年,該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完;2016年,這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒,該商店用2400元購進了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完,禮盒的售價均為60元/盒.
(1)2014年這種禮盒的進價是多少元/盒?
(2)若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同,問年增長率是多少?
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【題目】2019年新年時,小明的爸爸收到這樣一條短信,年齡與數(shù)字的秘密!如果你年齡在1~99之間,那么你隨便想一個數(shù)字,就能算出你的年齡!計算步驟如下:
①隨便想一個1~9之間的數(shù)字.
②把這個數(shù)字乘以 5.
③然后加上 40.
④再乘以 20.
⑤把所得的數(shù)加上 1219.
⑥用最后得到的數(shù)減去你出生的年份,這樣你會得到一個數(shù),它的第一個數(shù)字就是你開始想的那個數(shù),后面的數(shù)字就表示你的實際年齡(實際年齡=當(dāng)前年份-出生年份).
小明馬上想了一個數(shù)字“8”,他是2007年出生的,請你幫他計算一下,驗證這條短信所說的是否正確.假設(shè)小明當(dāng)時想的數(shù)字為,請用所學(xué)的代數(shù)式知識列式解開這條短信的奧秘.
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【題目】已知:關(guān)于 x 的方程 2x2+kx﹣1=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的一個根是﹣1,求另一個根及 k 值.
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【題目】在正方形中,點是直線上一點.連接,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接.
(1)如圖1.若點在線段的延長線上過點作于.與對角線交于點.
①請仔細(xì)閱讀題目,根據(jù)題意在圖上補全圖形;②求證:.
(2)若點在射線上,直接寫出,,三條線段之間的數(shù)量關(guān)系(不必寫過程).
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【題目】如圖,要利用一面墻(墻長為25米)建一個矩形場地,用100米的圍欄圍成三個大小相同的矩形,設(shè)矩形的邊長AB為x米,矩形場地的總面積為y平方米.
(1)請用含有x的式子表示y(不要求寫出x的取值范圍);
(2)當(dāng)x為何值時,矩形場地的總面積為400平方米?
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【題目】在數(shù)軸上有、、、四個點表示的數(shù)分別為:-3、-1、2、4,如下圖.
(1)計算、、;再觀察數(shù)軸,寫出、的距離,、兩點的距離,和、兩點的距離.
(2)請用、或填空:、的距離______,、兩點的距離______,、兩點的距離______.
(3)如果點、兩點表示的數(shù)分別為,,那么、兩點的距離=______.
(4)若,數(shù)代表的點在數(shù)軸上什么位置?介于哪兩個數(shù)之間?
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【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點,連接EG,CG.
(1)請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?(請直接寫出結(jié)果,不必寫出理由)
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