Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC.

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求證：AC²=AD·AB；

（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30⁰，求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明如下；（2）證明如下；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；

（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案．

試題解析：（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

∵OC為半徑，

∴EF是⊙O的切線．

（2）證明：連接BC，

∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ACB∽△ADC，

∴，

∴．

（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，

∴∠OCA=60°，

∵OC=OA，

∴△OAC是等邊三角形，

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，

∵在Rt△ACD中，，

由勾股定理得：，

∴陰影部分的面積是．

考點(diǎn):（1）圓；（2）相似三角形．