Question

已知⊙O與⊙O′交于A、B兩點(diǎn)，且⊙O′經(jīng)過點(diǎn)O，AO延長線交⊙O于點(diǎn)C，CB延長線交⊙O′于點(diǎn)D，OD交⊙O于點(diǎn)E，連BE．
（1）求證：AD為⊙O′的直徑．
（2）求∠EBD的度數(shù)．
（3）若⊙O的半徑為1，⊙O′的半徑為1.5，求△ABD的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ABC=90°，利用鄰補(bǔ)角的定義得∠ABD=90°，然后根據(jù)90°的圓周角所對的弦為直徑即可得到結(jié)論；
（2）由AD為⊙O′的直徑得到∠AOD=90°，在⊙O中，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠AOE=45°，則∠EBD=90°-45°=45°；
（3由∠AOD=90°，而OA=OC，得到DO垂直平分AC，則DA=DC=3，在Rt△AOD中，利用勾股定理可計算出AD=2，易證得Rt△ABC∽Rt△DOC，則BC：OC=AC：BC=AB：OD，即BC：1=2：3=AB：2，可計算出BC=，AB=，則BD=3-=，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半得到Rt△ABD的內(nèi)切圓半徑=，然后把AB、BD、AD的長度代入計算即可．
解答：（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°，
∴AD為⊙O′的直徑；
（2）解：∵AD為⊙O′的直徑，
∴∠AOD=90°，
在⊙O中，∠ABE=∠AOE，
∴∠ABE=45°，
∴∠EBD=90°-45°=45°；
（3）解：∵∠AOD=90°，
而OA=OC，
∴DO垂直平分AC，
∴DA=DC=3，
在Rt△AOD中，AD=3，OA=1，
∴OD==2，
∵∠C公共，
∴Rt△ABC∽Rt△DOC，
∴BC：OC=AC：BC=AB：OD，即BC：1=2：3=AB：2，
∴BC=，AB=，
∴BD=3-=，
∴Rt△ABD的內(nèi)切圓半徑===．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半；直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦為直徑；直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行幾何計算．