Question

【題目】綜合與實(shí)踐

觀察猜想

如圖1，有公共直角頂點(diǎn)的兩個(gè)不全等的等腰直角三角尺疊放在一起，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上.

（1）在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段，的數(shù)量關(guān)系是___________，直線(xiàn)，的位置關(guān)系是________.

操作發(fā)現(xiàn)

（2）將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角得到圖2，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？作出判斷并說(shuō)明理由；

拓廣探索

（3）如圖3，若只把“有公共直角頂點(diǎn)的兩個(gè)不全等的等腰直角三角尺”改為“有公共頂角為（銳角）的兩個(gè)不全等等腰三角形”，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，兩個(gè)結(jié)論成立.理由見(jiàn)解析；（3）結(jié)論成立；結(jié)論不成立.

【解析】

（1）根據(jù)△ABC和△ADE是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠A=90°，即可得出結(jié)論；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAB=∠EAC．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BD=CE．延長(zhǎng)DB，交CE于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)O．由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ADB=∠AEC．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，得到∠OFE=∠OAD=90°，即可得出結(jié)論．

（3）類(lèi)似（2）可得BD=CE成立，BD⊥CE不成立．

（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠A=90°，∴BD=CE，BD⊥CE．

故答案為：BD=CE，BD⊥CE．

（2）將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，兩個(gè)結(jié)論成立．理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

如圖，延長(zhǎng)DB，交CE于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)O．

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC．

∵∠AOD=∠EOF．

∴∠OFE=∠OAD．

∵∠OAD=90°，

∴∠DFE=90°，即BD⊥CE．

（3）結(jié)論BD=CE成立，結(jié)論BD⊥CE不成立．理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

延長(zhǎng)DB交CE于M，BD與AE交于點(diǎn)N．

∵△ABD≌△ACE，∴∠MEA=∠BDA．

∵∠ENM=∠DNA，∴∠EMN=∠EAD．

∵∠EAD≠90°，∴∠EMN≠90°，∴BD⊥CE不成立．