Question

如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點Q．
（1）求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式；
（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此時點P的坐標；
（3）若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可證得△BDC是直角三角形；分OP=OC，PC=OC，OP=PC三種情況即可求得P的坐標；
（3）設點P為（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2，根據(jù)PQNM是菱形，則PQ=MN，即可求得PM的長，判斷是否成立，從而確定；根據(jù)②的解法即可確定P的坐標．

解答：解：（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）設解析式是y=ax²+bx+c，
可得

a-b+c=0 c=4 16a+4b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴y=-x²+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，
∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²，
∴△BDC是直角三角形．
點A坐標是（-2，0），點D坐標是（0，2），
設直線AD的解析式是y=kx+b，則

-2k+b=0 b=2

，
解得：

k=1 b=2

，
則直線AD的解析式是y=x+2，
設點P坐標是（x，x+2）
當OP=OC時x²+（x+2）²=16，
解得：x=-1±

7

（x=-1-

7

不符合，舍去）此時點P（-1+

7

，1+

7

）
當PC=OC時（x+2）²+（4-x）²=16，方程無解；
當PO=PC時，點P在OC的中垂線上，
∴點P橫坐標是2，得點P坐標是（2，4）；
∴當△POC是等腰三角形時，點P坐標是（-1+

7

，1+

7

）或（2，4）；

（3）點M坐標是（

3

2

，

7

2

)，點N坐標是（

3

2

，

25

4

），∴MN=

11

4

，
設點P為（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2
①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x₁=0.5，x₂=1.5
當x₂=1.5時，點P與點M重合；當x₁=0.5時，可求得PM=

2

，所以菱形不存在．
②能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點H，作PJ⊥MN于點J，則NH=MJ，
則

25

4

-（-x²+3x+4）=x+2-

7

2

，
解得：x=2.5，
此時點P的坐標是（2.5，4.5）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，和菱形，等腰梯形的判定．