【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點P從點A出發(fā),以每秒4個單位長度的速度沿折線AC-CB運動,到點B停止.當點P不與△ABC的頂點重合時,過點P作其所在直角邊的垂線交AB 于點Q,再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR,且點R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側,設△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位).點P的運動時間為t(秒).
(1)求點P在AC邊上時PQ的長,(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍;
(3)當點P在AC邊上運動時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
(4)直接寫出點R落在△ABC高線上時t的值.
【答案】(1) 3t;(2) 0<t<1或t=;(3)s=-28t2+44t-16;(4)
【解析】
試題分析:(1)只需利用三角函數(shù)就可解決問題;
(2)可分點P在AC邊上(圖①)和點P在BC邊上(圖②)兩種情況討論:當點P在AC邊上時,易得點R到AC、PQ所在直線的距離始終相等,從而可得0<t<1;當點P在BC邊上時,易得PC=PQ,由此建立關于t的方程,就可解決問題;
(3)可分△PQR全部在△ABC內(nèi)和△PQR部分在△ABC內(nèi)兩種情況討論:當△PQR全部在△ABC內(nèi)時,只需運用三角形的面積公式就可解決問題;當△PQR部分在△ABC內(nèi)時,只需運用割補法就可解決問題;
(4)可分以下幾種情況討論:點R在AB的高CH上(如圖④和圖⑦)、點R在AC的高BC上(如圖⑤)、點R在BC的高AC上(如圖⑥),其中圖④和圖⑦可通過構造K型全等,并利用相似三角形的性質(zhì)來解決問題,圖5和圖6可通過PQ=2PC來解決問題.
試題解析:(1)如圖①,
由題意可知AP=4t,
tanA=,
∴PQ=3t;
(2)①當點P在AC邊上時,如圖①.
∵∠RPQ=45°,∠CPQ=90°,
∴∠CPR=45°=∠RPQ,
∴點R到直線AC、PQ距離相等,
此時0<t<1.
②當點P在BC邊上時,過點R作RH⊥PQ于點H,如圖②,
則有PC=4t-4,PB=7-4t,
∵tanB=,
∴PQ=PB=(7-4t).
由題可得:RH=PC.
∵RH=PQ,
∴PC=PQ,
∴4t-4=(7-4t),
解得:t=.
綜上所述:0<t<1或t=;
(3)①當0<t≤時,如圖①.
過點R作RH⊥PQ于點H,
S=PQRH=×3t×=t2.
②當<t<1時,如圖③.
過點R作RH⊥PQ于點H,交BC于點G,
則有RG⊥MN,RH=PQ=t,GH=PC=4-4t,
∴S=S△RPQ-S△RMN=PQRH-MNRH
=RH2-RG2=(t)2-[t-(4-4t)]2
=-28t2+44t-16;
(4)點R落在△ABC高線上時,t的值為,,,.
可分以下幾種情況討論:如圖④~⑦
①點P在AC上,且點R在AB的高CH上,如圖④,
過點P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易求得AB=5,CH=,AH=,BH=.
PC=4-4t,CG=PC=(4-4t),PG=PC=(4-4t),
AQ=AP=5t,QH=AH-AQ=-5t.
根據(jù)CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=,得
(4-4t)+-5t+(4-4t)=,
解得:t=.
②點P在AC上,且點R在AC的高BC上,如圖⑤
過點R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ=AP=3t,PC=4-4t,
∴3t=2(4-4t),
解得:t=.
③點P在BC上,且點R在BC的高AC上,如圖⑥,
過點R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ=PB=(7-4t),PC=4t-4,
∴(7-4t)=2(4t-4),
解得:t=.
④點P在BC上,且點R在AB的高CH上,如圖⑦,
過點P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易證△CGP∽△CHB,
∴.
∵BC=3,CH=,BH=,CP=4t-4,
∴CG=PC=(4t-4),PG=PC=(4t-4),
同理可得QB=PB=(7-4t),QH=QB-BH=(7-4t)-.
根據(jù)CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=,得
(4t-4)+(4t-4)-[(7-4t)-]=,
解得:t=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某劇院的觀眾席的座位為扇形,且按下列分式設置:
排數(shù)(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
座位數(shù)(y) | 50 | 53 | 56 | 59 | … |
(1)按照上表所示的規(guī)律,當x每增加1時,y如何變化?
(2)寫出座位數(shù)y與排數(shù)x之間的關系式;
(3)按照上表所示的規(guī)律,某一排可能有90個座位嗎?說說你的理由.
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【題目】用科學記數(shù)法表示9 270 000正確的是( )
A.9.27×106
B.9.27×105
C.9.27×104
D.927×103
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為提高居民的節(jié)水意識,向陽小區(qū)開展了“建設節(jié)水型社區(qū),保障用水安全”為主題的節(jié)水宣傳活動,小瑩同學積極參與小區(qū)的宣傳活動,并對小區(qū)300戶家庭用水情況進行了抽樣調(diào)查,她在300戶家庭中,隨機調(diào)查了50戶家庭5月份的用水量情況,結果如圖所示.
(1)試估計該小區(qū)5月份用水量不高于12 t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比;
(2)把圖中每組用水量的值用該組的中間值(如0~6的中間值為3)來替代,估計該小區(qū)5月份的用水量.
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【題目】下列說法中,正確的是( )
A. 關于中心對稱的兩個圖形不一定全等
B. 全等的兩個三角形必關于一個點對稱
C. 一個中心對稱圖形只有一個對稱中心
D. 平行四邊形不是中心對稱圖形
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【題目】某車間共有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母,每人平均每天生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個,問:如何安排工人才能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1:2配套?
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【題目】A種飲料比B種飲料單價少1元,小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料,一共花了13元,如果設B種飲料單價為x元/瓶,那么下面所列方程正確的是( )
A.2(x﹣1)+3x=13
B.2(x+1)+3x=13
C.2x+3(x+1)=13
D.2x+3(x﹣1)=13
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