Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線y=kx+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于B（1，m）、C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動點(diǎn)P（x，y），設(shè)∠PON=α，求當(dāng)△PON的面積最大時tanα的值；
（3）若動點(diǎn)P保持（2）中的運(yùn)動路線，問是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△PON面積的？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)可確定直線AD的解析式，進(jìn)而可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，將B、C、O三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）此題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；△PON中，ON的長為定值，若△PON的面積最大，那么P點(diǎn)離ON的距離最遠(yuǎn)，即P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)（1）所得的拋物線解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出α的正切值；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；根據(jù)直線AD和拋物線的解析式可求出A、N的坐標(biāo)；以O(shè)N為底，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高可得到△OPN的面積，以O(shè)A為底，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為高可得到△OAP的面積，根據(jù)題目給出的△POA和△PON的面積關(guān)系即可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）將點(diǎn)C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1
所以直線的解析式為y=-x+4
當(dāng)x=1時，y=3，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）
將B、C、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax²+bx+c，
可得
解得，
所以所求的拋物線為y=-2x²+5x．

（2）因?yàn)镺N的長是一定值，
所以當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時，△PON的面積最大，
又該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），此時tan∠PON=．

（3）存在；
把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點(diǎn)A（0，4）
把y=0代入拋物線y=-2x²+5x
得x=0或x=，所以點(diǎn)N（，0）
設(shè)動點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），
其中y=-2x²+5x （0＜x＜）
則得：S_△OAP=|OA|•x=2x
S_△ONP=|ON|•y=•（-2x²+5x）=（-2x²+5x）
由S_△OAP=S_△ONP，
即2x=•（-2x²+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，3）．
點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．