Question

（1997•武漢）已知：如圖，⊙M交x軸正半軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C（0，y₁）、D（0，y₂）（y₁＜y₂）兩點(diǎn)．
（1）求證：∠CAO=∠DAM；
（2）若x₁、x₂是方程x²-px+q=0的兩個(gè)根，y₁、y₂是方程y²-（q-1）y+（p-1）=0的兩個(gè)根，且x₁+y₁+x₂+y₂=12，求p和q的值；
（3）過(guò)點(diǎn)A分別作DM、CM的垂線AE、AF，垂足分別為點(diǎn)E和F，根據(jù)（2），求證：△AEM≌△MFA．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AM交⊙M于點(diǎn)P，連接DP，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得出結(jié)論；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=p，x₁•x₂=q；y₁+y₂=q-1，y_l•y₂=p-1，結(jié)合x(chóng)₁+y₁+x₂+y₂=12，可得出一個(gè)p與q的關(guān)系式，再由切割線定理的推論也可得出一個(gè)q與p的關(guān)系式，聯(lián)立求解可得出p、q的值．
（3）先求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而得出⊙M的半徑，過(guò)點(diǎn)A分別作DM、CM的垂線AE、AF垂足分別為點(diǎn)E和F，延長(zhǎng)DM交⊙M于點(diǎn)Q，連接AQ，分別求出EM、FA的長(zhǎng)度，繼而利用HL 可判定兩直角三角形的全等．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)AM交⊙M于點(diǎn)P，連接DP，

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理得：∠APD=∠ACO，
而∠CAO=90°-∠ACO，∠DAM=90°-∠APD，
∴∠CAO=∠DAM．

（2）由條件知：x₁+x₂=p，x₁•x₂=q；y₁+y₂=q-1，y_l•y₂=p-1，
∵x₁+y₁+x₂+y₂=12，
∴p•q-1=12 ①，
在⊙M中，由切割線定理的推論得：x₁x₂=y₁y₂，
即q=p-1 ②，
聯(lián)立①②解得：p=7，q=6．

（3）證明：由（2）知A（1，0）、B（6，0），C（0，2），D（0，3），
則可求得⊙M的半徑長(zhǎng)為

5 2

2

，
過(guò)點(diǎn)A分別作DM、CM的垂線AE、AF垂足分別為點(diǎn)E和F，延長(zhǎng)DM交⊙M于點(diǎn)Q，連接AQ，

則易得△ADE∽△QDA，
∴

DE

AD

=

AD

DQ

，即DE=

AD2

DQ

，
而AD²=OD²+OA²=9+1=10，DQ=2×

5 2

2

=5

2

，
∴DE=

10

5 2

=

2

，EM=DM-DE=

3 2

2

，
同理可得：CF=

5

5 2

=

2

2

，F(xiàn)A=AC²-CF²=

3 2

2

，
∴EM=FA，
在Rt△AEM和Rt△MFA中，

EM=FA AM=AM

．
∴Rt△AEM≌Rt△MFA（HL）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，涉及了根與系數(shù)的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此類題目要求同學(xué)們熟練掌握各定理的內(nèi)容，并能將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通．