Question

一個(gè)四位偶自然數(shù)的千位數(shù)字是1，當(dāng)它分別被四個(gè)不同的數(shù)去除時(shí)，余數(shù)也都是1，試求出滿足這些條件的所有自然數(shù)，其中最大的一個(gè)是多少？

Answer 1

設(shè)滿足題設(shè)性質(zhì)的自然數(shù)是x，則x的千位數(shù)字是1，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)，設(shè)質(zhì)數(shù)p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意由kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數(shù)，
若p₁=2，則kp₁p₂p₃p₄+1是奇數(shù)，與x是偶數(shù)不符，所以p₁、p₂、p₃、p₄均為奇質(zhì)數(shù)，
設(shè)p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，則3×5×7×11=1155，所以k=1；
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13時(shí)，3×5×11×13=2145＞1999，
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是p₁，p₂，p₃的唯一取值法，這樣一來我們只需對p₁=3討論，
p₄=11時(shí)，x₁=3×5×7×11+1=1156，
p₄=13時(shí)，x₁=3×5×7×13+1=1366，
p₄=17時(shí)，x₁=3×5×7×17+1=1786，
p₄=19時(shí)，x₁=3×5×7×19+1=1996，
而當(dāng)p₄=23時(shí)，x₁=3×5×7×23+1＞2000，不符合要求
所以滿足條件的自然數(shù)共有四個(gè)，它們是1156，1366，1786，1996．
故其中最大的一個(gè)是1996．