Question

21、（1）請(qǐng)你寫(xiě)出不超過(guò)30的自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)之和．
（2）請(qǐng)回答，千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有多少個(gè)？
（3）一個(gè)四位偶自然數(shù)的千位數(shù)字是1，當(dāng)它分別被四個(gè)不同的質(zhì)數(shù)去除時(shí)，余數(shù)也都是1，試求出滿足這些條件的所有自然數(shù)，其中最大的一個(gè)是多少？

Answer 1

分析：（1）列舉出所有小于30的質(zhì)數(shù)，再求出這些質(zhì)數(shù)的和即可；
（2）根據(jù)千位數(shù)是1的四位自然數(shù)中奇數(shù)與偶數(shù)相等即可解答；
（3）設(shè)滿足題設(shè)性質(zhì)的自然數(shù)為x，則x的千位數(shù)字是1，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)碼，又設(shè)質(zhì)數(shù)p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數(shù)，再分別把p₁=2、3、5、7、11、13、17、19、23代入求出x的值，找出符合條件的自然數(shù)即可．

解答：解：（1）不超過(guò)30的質(zhì)數(shù)和為
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129；
（2）千位數(shù)是1的四位自然數(shù)中最小為1000最大為1999．共連續(xù)1000個(gè)自然數(shù)．其中有500個(gè)是偶數(shù)．所以千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有500個(gè)；
（3）設(shè)滿足題設(shè)性質(zhì)的自然數(shù)為x，則x的千位數(shù)字是1，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)碼．
又設(shè)質(zhì)數(shù)p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數(shù)．
若p₁=2，則kp₁p₂p₃p₄+1為奇數(shù)，與x為偶數(shù)不符．所以p₁，p₂，p₃，p₄均為奇質(zhì)數(shù)．
設(shè)p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1．
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13時(shí)3×5×11×13=2145＞1999．
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是①中p₁，p₂，p₃的唯一取值法．這樣一來(lái)，只須再對(duì)p₄討論：
當(dāng)p₄=11時(shí)，x₁=3×5×7×11+1=1156．
當(dāng)p₄=13時(shí)，x₂=3×5×7×13+1=1366．
當(dāng)p₄=17時(shí)，x₃=3×5×7×17+1=1786．
當(dāng)p₄=19時(shí)，x₄=3×5×7×19+1=1996．
而當(dāng)p₄=23時(shí)，x₅=3×5×7×23+1＞2000不合要求．
所以，滿足題設(shè)條件的自然數(shù)共四個(gè)，它們是1156，1366，1786，1996．
其中最大的一個(gè)是1996．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)、自然數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)的定義，是一道難度較大的題目．