Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A.B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CDPA⊥，垂足為D.

(1)求證：CD為⊙O的切線；
(2)若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度.

Answer 1

（1）見解析；（2）6

解析試題分析：（1）連接OC，由OA=OC結(jié)合CD⊥PA可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得∠DCO=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）過O作OF⊥AB，則OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）²+（6-x）²=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．
（1）如圖，連接OC．

∵點C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．                
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，則∠CAD+∠DCA=90°．      
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO．     
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．       
又∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；    
（2）如圖，過O作OF⊥AB，垂足為F，  

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，             
∴四邊形DCOF為矩形
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6-x，
∵⊙O的直徑為10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．即（5-x）²+（6-x）²=25，
化簡得x²-11x+18=0，解得x=2或x=9．
∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，
∴x=2，
∴AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，
∴AB=2AF=6．
考點：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，故證明切線時往往連接切點和圓心，再證垂直.