Question

（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；
（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18°，34°，52°，65°，88°，這些角的正弦值的大小和余弦值的大��；
（3）比較大�。海ㄔ诳崭裉幪顚�(xiě)“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，則sinα

 

cosα；若∠α＜45°，則sinα

 

cosα；若∠α＞45°，則sinα

 

cosα；
（4）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大�。�
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，即可發(fā)現(xiàn)隨著一個(gè)銳角的增大，它的對(duì)邊在逐漸增大，它的鄰邊在逐漸減小，故正弦值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角的增大而減�。�
（2）根據(jù)上述規(guī)律，要比較銳角三角函數(shù)值的大小，只需比較角的大�。�
（3）根據(jù)概念以及等腰三角形的性質(zhì)，顯然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，即可得到結(jié)論．
（4）注意正余弦的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換為同一種銳角三角函數(shù)后，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律進(jìn)行比較．

解答：解：（1）在圖（1）中，令A(yù)B₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于點(diǎn)C₁，B₂C₂⊥AC于點(diǎn)C₂，B₃C₃⊥AC于點(diǎn)C₃，
顯然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=

B1C1

AB1

，sin∠B₂AC=

B2C2

AB2

，sin∠B₃AC=

B3C3

AB3

，
而

B1C1

AB1

＞

B2C2

AB2

＞

B3C3

AB3

．
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在圖（2）中，Rt△ACB₃中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=

AC

AB1

，cos∠B₂AC=

AC

AB2

，cos∠B₃AC=

AC

AB3

，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴

AC

AB1

＜

AC

AB2

＜

AC

AB3

．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，則sinα=cosα；若∠α＜45°，則sinα＜cosα；若∠α＞45°，則sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．

點(diǎn)評(píng)：理解銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法．