Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P_n（x_n，y_n），…在函數(shù) y=

2 3

x

(x＞0)的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，△P_nA_n-1A_n都是等邊三角形，邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x軸上．求P₁的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

分析：由已知，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，△P_nA_n-1A_n都是等邊三角形，邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x軸上，所以得：
∠P₁OA₁=60°，即得OP₁所在的直線為y=tan60°x，也就是說(shuō)點(diǎn)P₁在直線OP₁上，又P₁（x₁，y₁）在函數(shù) y=

2 3

x

(x＞0)的圖象上，所以得：y₁=tan60°x₁，y₁=

2 3

x1

，由此求出x₁，y₁，即點(diǎn)P₁的坐標(biāo)．

解答：解：已知△P₁OA₁是等邊三角形，
∴∠P₁OA₁60°，
又OA₁在x軸上，
∴OP₁所在的直線為y=tan60°x，且點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在直線OP₁上，
∴得：y₁=tan60°x₁        ①
又點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在函數(shù) y=

2 3

x

(x＞0)的圖象上，
∴得：y₁=

2 3

x1

           ②
由已知x＞0，所以由①②解得：
x₁=

2

，y₁=

6

，
即點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為：（

2

，

6

），
故答案為：（

2

，

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是由已知等邊三角形得到OP₁所在的直線，即點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在直線上，又在函數(shù) y=

2 3

x

(x＞0)的圖象上，所以得到x₁和y₁的方程組，從而求出x₁和y₁．