Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數y=

4

x

（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x軸上
（1）求P₁的坐標；
（2）求y₁+y₂+y₃+…y₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，知P₁的橫、縱坐標相等，再結合雙曲線的解析式求得該點的坐標；
（2）主要是根據等腰直角三角形的性質和雙曲線的解析式首先求得各個點的橫坐標，再進一步求得其縱坐標，發(fā)現抵消的規(guī)律，從而求得代數式的值．

解答：解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，則有x₁²=4，故x₁=±2（負舍），點P₁（2，2）．

（2）解：過P₁作P₁B⊥OA₁于B，過P₂作P₂C⊥A₁A₂于C，
∵△OP₁A₁、△A₁P₁A₂是等腰直角三角形，
∴OB=BP₁=BA₁=x₁=y₁
∴y₂=A₁C=OC-A₁B-OB=x₂-x₁-y₁，
同理可得：y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又yn=

4

xn

，則：x2-4=

4

x2

，解得，x2=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
∴x3-4

2

=

4

x3

，x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
同理，依次得x2=2

2

+2，y2=2

2

-2，
x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x9=2

9

+2

8

，y9=2

9

-2

8

，
x₁₀=2

10

+2

9

，y₁₀=2

10

-2

9

，
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₀=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+2

4

-2

3

+…+2

9

-2

8

+2

10

-2

9

=2

10

．

點評：此題主要是綜合運用了等腰直角三角形的性質以及結合函數的解析式求得點的坐標．解答本題時同學們要找出其中的規(guī)律．