Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，直線y=x-2與x軸交于點D,與y軸交于點C．點P是x軸下方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E.設(shè)點P的橫坐標為m.

（1）求拋物線的解析式：

（2）若PE=3EF，求m的值；

（3）連接PC，是否存在點P，使△PCE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點P的橫坐標m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）m=1或m=；（3）m=1±，或或.

【解析】

試題分析：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，難點在于（3）判斷出直線CD與y軸的夾角為45°并分情況討論.

（1）將點A、B的坐標代入拋物線求出a、b，即可得解；

（2）根據(jù)拋物線解析式與直線解析式表示出點P、E的坐標，然后表示出PE、EF，再列出絕對值方程，然后求解即可；

（3）根據(jù)直線解析式求出直線CD與y軸的夾角為45°，然后分①∠PCE=90°時表示出PC的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；②∠CPE=90°時，PC∥x軸，點P與點C的縱坐標相等，然后根據(jù)拋物線解析式求解即可.

試題解析：（1）把A（-1，0）、B（3，0），兩點的坐標代入y=ax2+bx-3得：，

解得：，

所以，這條拋物線的解析這式為：y=x2-2x-3；

（2）設(shè)點P的橫坐標是m，則P（m，m2-2m-3），E（m，m-2），F(xiàn)（m，0），

PE=|yE-yP|=|（m-2）-（m2-2m-3）|=|-m2+3m+1|，

EF=|-m+2|，

由題意PE=3EF，即：|-m2+3m+1|=3|-m+2|，

①若-m2+3m+1=3（-m+2），整理得：m

②若-m2+3m+1=-3（-m+2），整理得：m2-7=0，

解得：m=7或m=-7，

∵P在x軸下方，

∴-1＜m＜3，m=-7不合題意應(yīng)舍去，

∴m=7，

綜上所述，m=1或m=7；

（3）存在點P的橫坐標為：m=1-或或．

理由如下：直線y=x-2與y軸的夾角為45°，

①PCE=90°時，直線PC的解析式為y=-x-2，

聯(lián)立，

消掉y得，x2-x-1=0，

解得x=或，

所以，點P的橫坐標m=或；

②∠CPE=90°時，PC∥x軸，

∵點C（0，-2），

∴點P與點C的縱坐標相等，為-2，

∴x2-2x-3=-2，

解得x=1±，

∵點P是x軸下方的拋物線上一動點，

∴-1＜x＜3，

∴點P的橫坐標m=1±，

綜上所述，點P的橫坐標m=1±或或.