Question

已知M、N為雙曲線(xiàn)（x＞0）上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2，分別過(guò)M、N作y軸、x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為C、A，交點(diǎn)為B．
（1）若矩形OABC的面積為12，求a的值；
（2）隨著a的取值的不同，M、N兩點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，判斷M能否為BC邊的中點(diǎn)，同時(shí)N為AB中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）矩形OABC能否成為正方形？若能，求出此時(shí)a的值及正方形的邊長(zhǎng)，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)、N為雙曲線(xiàn)（x＞0）上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2，
∴OA=a+2，OC=，
∵矩形OABC的面積為12，
∴（a+2）•=12，解得a=1；

（2）能．
∵當(dāng)M為BC邊的中點(diǎn)時(shí)，2a=a+2，解得a=2，
∴OA=4，OC=AB=2，
∵N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2a，
∴AN==1，
∴當(dāng)a=2時(shí)能使M為BC邊的中點(diǎn)，同時(shí)N為AB中點(diǎn)；

（3）∵當(dāng)OA=OC時(shí)，矩形OABC為正方形，
∴a+2=，解得a₁=-1，a₂=--1（舍）
∴此時(shí)邊長(zhǎng)為OA=a+2=+1．
分析：（1）由M、N為雙曲線(xiàn)（x＞0）上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2可得出OA及OC的長(zhǎng)度，再根據(jù)BA⊥x軸，BC⊥y軸可知，四邊形OABC是矩形，由矩形OABC的面積為12即可得出a的值；
（2）若M為BC邊的中點(diǎn)，由2a=a+2可求出a的值，進(jìn)而得出OA、OC的長(zhǎng)度，故可得出AN的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）由正方形的性質(zhì)可知當(dāng)OA=OC時(shí)矩形OABC為正方形，即a+2=，求出a的值，再根據(jù)OA=a+2即可得出其邊長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意用a表示出OA及OC的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵．