Question

已知M、N為雙曲線（x＞0）上兩點，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2，分別過M、N作y軸、x軸的垂線，垂足分別為C、A，交點為B．
（1）若矩形OABC的面積為12，求a的值；
（2）隨著a的取值的不同，M、N兩點不斷運動，判斷M能否為BC邊的中點，同時N為AB中點？請說明理由；
（3）矩形OABC能否成為正方形？若能，求出此時a的值及正方形的邊長，若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)、N為雙曲線（x＞0）上兩點，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2，
∴OA=a+2，OC=，
∵矩形OABC的面積為12，
∴（a+2）•=12，解得a=1；

（2）能．
∵當(dāng)M為BC邊的中點時，2a=a+2，解得a=2，
∴OA=4，OC=AB=2，
∵N點的橫坐標(biāo)為2a，
∴AN==1，
∴當(dāng)a=2時能使M為BC邊的中點，同時N為AB中點；

（3）∵當(dāng)OA=OC時，矩形OABC為正方形，
∴a+2=，解得a₁=-1，a₂=--1（舍）
∴此時邊長為OA=a+2=+1．
分析：（1）由M、N為雙曲線（x＞0）上兩點，且其橫坐標(biāo)分別為a，a+2可得出OA及OC的長度，再根據(jù)BA⊥x軸，BC⊥y軸可知，四邊形OABC是矩形，由矩形OABC的面積為12即可得出a的值；
（2）若M為BC邊的中點，由2a=a+2可求出a的值，進(jìn)而得出OA、OC的長度，故可得出AN的長，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）由正方形的性質(zhì)可知當(dāng)OA=OC時矩形OABC為正方形，即a+2=，求出a的值，再根據(jù)OA=a+2即可得出其邊長．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意用a表示出OA及OC的長是解答此題的關(guān)鍵．