Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，5），B（12，0），在y軸負半軸上取點E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長線于點D．

（1）根據(jù)題意，可求得OE＝　 　；

（2）求證：△ADO≌△ECO；

（3）動點P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運動速度為每秒1個單位，到B點處停止運動；動點Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運動速度為每秒3個單位，到E點處停止運動．二者同時開始運動，都要到達相應(yīng)的終點才能停止．在某時刻，作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N．問兩動點運動多長時間△OPM與△OQN全等？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）當(dāng)兩動點運動時間為、、10秒時，△OPM與△OQN全等

【解析】

（1）根據(jù)OA=OE即可解決問題．
（2）根據(jù)ASA證明三角形全等即可解決問題．
（2）設(shè)運動的時間為t秒，分三種情況討論：當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時；當(dāng)點P、Q都在y軸上時；當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，當(dāng)點Q提前停止時；列方程即可得到結(jié)論．

（1）∵A（0，5），

∴OE＝OA＝5，

故答案為5．

（2）如圖1中，

∵OE＝OA，OB⊥AE，

∴BA＝BE，

∴∠BAO＝∠BEO，

∵∠CEF＝∠AEB，

∴∠CEF＝∠BAO，

∴∠CEO＝∠DAO，

在△ADO與△ECO中，

，

∴△ADO≌△ECO（ASA）．

（2）設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)PO＝QO時，易證△OPM≌△OQN．

分三種情況討論：

①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時PO＝QO得：

5﹣t＝12﹣3t，

解得t＝（秒），

②當(dāng)點P、Q都在y軸上時PO＝QO得：

5﹣t＝3t﹣12，

解得t＝（秒），

③當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸上時，

若二者都沒有提前停止，則PO＝QO得：

t﹣5＝3t﹣12，

解得t＝（秒）不合題意；

當(dāng)點Q運動到點E提前停止時，

有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），

綜上所述：當(dāng)兩動點運動時間為、、10秒時，△OPM與△OQN全等．